AVL树 算法思想与代码达成
发布时间：2021-11-18 17:57:32 所属栏目：教程 来源：互联网
导读：AVL树是高度平衡的二叉搜索树，按照二叉搜索树（Binary Search Tree）的性质，AVL首先要满足： 若它的左子树不为空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值； 若它的右子树不为空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值； 它的左、右子树也分别
|
AVL树是高度平衡的二叉搜索树，按照二叉搜索树（Binary Search Tree）的性质，AVL首先要满足： 若它的左子树不为空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值； 若它的右子树不为空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值； 它的左、右子树也分别为二叉搜索树。 AVL树的性质： 左子树和右子树的高度之差的绝对值不超过1 树中的每个左子树和右子树都是AVL树 每个节点都有一个平衡因子(balance factor--bf),任一节点的平衡因子是-1,0,1之一 (每个节点的平衡因子bf 等于右子树的高度减去左子树的高度 ) 构建AVL树节点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 //// AVL树的节点类 template<class K,class V> class AVLTreeNode { K _key; V _value; int _bf;//平衡因子 -1,0,1(每个节点的平衡因子等于右子树的高度减去左子树的高度) AVLTreeNode<K, V>* _parent; //指向父节点的指针 AVLTreeNode<K, V>* _left; //指向左孩子的指针 AVLTreeNode<K, V>* _right; //指向右孩子的指针 AVLTreeNode(const K& key = K(), const V& value = V()) :_key(key) , _value(value) , _bf(0) , _parent(NULL) , _left(NULL) , _right(NULL) {} }; 插入数据： 插入数据以后，父节点的平衡因子必然会被改变！ 首先判断父节点的平衡因子是否满足性质1（-1<= parent->_bf <=1），如果满足，则要回溯向上检查插入该节点是否影响了其它节点的平衡因子值！ 当父节点的平衡因子等于0时，父节点所在的子树已经平衡，不会影响其他节点的平衡因子了。 当父节点的平衡因子等于1或者-1时，需要继续向上回溯一层，检验祖父节点的平衡因子是否满足条件（把父节点给当前节点）。 当父节点的平衡因子等于2或者-2时，不满足性质1，这时需要进行旋转 来降低高度 ： 旋转的目的是为了降低高度 旋转的一般形态： 旋转至少涉及三层节点，所以至少要向上回溯一层 ，才会发现非法的平衡因子并进行旋转 向上回溯校验时，需要进行旋转的几种情况： 1. 当前节点的父节点的平衡因子等于2时，说明父节点的右树比左树高： 这时如果当前节点的平衡因子等于1，那么当前节点的右树比左树高，形如“ ”，需要进行左旋； 如果当前节点的平衡因子等于-1，那么当前节点的右树比左树低，形如“ > ”，需要进行右左双旋！ 2. 当前节点的父节点的平衡因子等于-2时，说明父节点的右树比左树低： 这时如果当前节点的平衡因子等于-1，那么当前节点的右树比左树低，形如“ / ”,需要进行右旋； 如果当前节点的平衡因子等于1，那么当前节点的右树比左树高，形如“ < ”,需要进行左右双旋！ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 // AVLTree插入算法 template<class K, class V> bool AVLTree<K,V>::Insert(const K& key, const V& value) { //1.空树 if (_root == NULL) { _root = new AVLTreeNode<K, V>(key, value); return true; } //2.AVL树不为NULL AVLTreeNode<K, V>* parent = NULL; AVLTreeNode<K, V>* cur = _root; //找到数据插入位置 while (cur) { if (cur->_key < key) { parent = cur; cur = cur->_right; } else if (cur->_key > key) { parent = cur; cur = cur->_left; } else { return false; } } //插入数据 cur = new AVLTreeNode<K, V>(key, value); cur->_parent = parent; if (parent->_key > key) parent->_left = cur; else parent->_right = cur; while (parent) { //更新平衡因子 if (cur == parent->_left) parent->_bf--; else if (cur == parent->_right) parent->_bf++; //检验平衡因子是否合法 if (parent->_bf == 0) break; else if (parent->_bf == -1 || parent->_bf == 1) { // 回溯上升 更新祖父节点的平衡因子并检验合法性 cur = parent; parent = cur->_parent; } else // 2 -2 平衡因子不合法 需要进行旋转 降低高度 { if (parent->_bf == 2) { if (cur->_bf == 1) _RotateL(parent); else _RotateRL(parent); } else if (parent->_bf == -2) { if (cur->_bf == -1) _RotateR(parent); else _RotateLR(parent); } break; } } } 左旋的两种情况： 1.parent有两个孩子：没有插入节点c之前处于平衡状态，插入c之后，平衡被破坏，向上回溯检验祖父节点的平衡因子，当其bf=2 时，以此节点为轴进行左旋 2.parent有一个孩子：没有插入节点a之前处于平衡状态，插入节点a之后，parent节点的平衡因子bf=2不满足AVL树的性质，要以parent为轴进行左旋 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 //左旋 template<class K, class V> void AVLTree<K, V>::_RotateL(AVLTreeNode<K, V>*& parent) { AVLTreeNode<K, V>* subR = parent->_right; AVLTreeNode<K, V>* subRL = subR->_left; AVLTreeNode<K, V>* ppNode = parent->_parent; //标记祖先节点 //1.构建parent子树 链接parent和subRL parent->_right = subRL; if (subRL) subRL->_parent = parent; //2.构建subR子树 链接parent和subR subR->_left = parent; parent->_parent = subR; //3.链接祖先节点和subR节点 subR->_parent = ppNode; if (ppNode== NULL) {//如果祖先节点为NULL，说明目前的根节点为subR _root = subR; } else { //将祖先节点和subR节点链接起来 if (parent == ppNode->_left) ppNode->_left = subR; else ppNode->_right = subR; } //4.重置平衡因子 parent->_bf = 0; subR->_bf = 0; //5.更新subR为当前父节点 parent = subR; } 右旋的两种情况： 1. parent既有左孩子又有右孩子：插入c之前处于平衡态，插入c之后parent的平衡因子变为-2，这时要以parent为轴进行旋转 2. parent只有一个孩子：插入a之前处于平衡状态，插入之后subL与parent的平衡因子被改变，需要以parent为轴进行旋转 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 ///右旋 template<class K, class V> void AVLTree<K, V>::_RotateR(AVLTreeNode<K, V>*& parent) { AVLTreeNode<K, V>* subL = parent->_left; AVLTreeNode<K, V>* subLR = subL->_right; AVLTreeNode<K, V>* ppNode = parent->_parent; //标记祖先节点 //1.构建parent子树 将parent和subLR链接起来 parent->_left = subLR; if (subLR) subLR->_parent = parent; //2.构建subL子树 将subL与parent链接起来 subL->_right = parent; parent->_parent = subL; //3.将祖先节点与sunL链接起来 if (ppNode == NULL) { //如果祖先为NULL，说明当前subL节点为根节点 subL->_parent = NULL; _root = subL; } else { subL->_parent = ppNode; if (ppNode->_left == parent) ppNode->_left = subL; else if (ppNode->_right == parent) ppNode->_right = subL; } //4.重置平衡因子 parent->_bf = 0; subL->_bf = 0; //5.更新subL为当前父节点 parent = subL; } 左右双旋： 1. parent只有一个孩子：在插入节点sunLR之前，AVL树处于平衡状态，左右子树高度差的绝对值不超过1。 由于插入了节点subLR导致grandfather的平衡因子变为-2，平衡树失衡，所以需要利用旋转来降低高度！ 首先以subL为轴，将subLR向上提（左旋），将grandfather、parent和subL旋转至一条直线上； 再以parent为轴将之前的subLR向上提（右旋），左树的高度降1，grandfather的平衡因子加1后变为-1，恢复平衡状态。 双旋完成后将parent、subL的平衡因子置为0即可，左右双旋也就完成啦！ 2. parent有两个孩子：没有插入subRL或subRR之前的AVL树一定是处于平衡状态的，并且满足AVL树的性质。 正是由于插入了节点subRL或者subRR，导致其祖先节点的平衡因子被改变，grandfather的平衡因子变为-2，平衡态比打破，需要进行旋转来降低高度！ 首先parent为轴将subR节点往上提至原parent的位置（左旋），将grandfather、parent 和 subR旋至一条直线上； 再以grandfather为轴将subR往上提至grandfather的位置（右旋），此时以subR为根的左右子树的高度相同，恢复了平衡态！ parent有两个孩子时，要看插入的节点是subR的右孩子还是左孩子，双旋后对平衡因子的修改分两种情况： subR的平衡因子为1，即subR有右孩子无左孩子（有subRR但无subRL），双旋之后将grandfather的平衡因子置为0，将parent的平衡因子置为-1； subR的平衡因子为-1，即subR有左孩子无右孩子（有subRL但无subRR），双旋之后将grandfather的平衡因子置为1，将parent的平衡因子置为0； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 //左右双旋 template<class K, class V> void AVLTree<K, V>::_RotateLR(AVLTreeNode<K, V>*& parent) { AVLTreeNode<K, V>* pNode = parent; AVLTreeNode<K, V>* subL = parent->_left; AVLTreeNode<K, V>* subLR = subL->_right; int bf = subLR->_bf; _RotateL(parent->_left); _RotateR(parent); if (bf == 1) { pNode->_bf = 0; subL->_bf = -1; } else if (bf == -1) { pNode->_bf = 1; subL->_bf = 0; } else { pNode->_bf = 0; subL->_bf = 0; } } 右左双旋： 1. parent只有一个孩子：由于节点subRL的插入破坏了AVL树的平衡，parent的平衡因子变为2，需要利用旋转来降低高度！ 首先，以subR为轴，将subRL提上去（右旋），保证parent、subR 和 subRL在一条直线上； 以parent为轴，将上一步标记为subRL的节点向上升（左旋），这样达到了降低高度的目的； 双旋之后，parent和subR的平衡因子都要置为0 2.parent有两个孩子：没有插入subLL或者subLR之前的AVL树一定是处于平衡状态的，并且满足AVL树的性质。 正是由于插入了节点subLL或者subLR，导致其祖先节点的平衡因子被改变，grandfather的平衡因子变为2，平衡态比打破，需要进行旋转来降低高度！ 首先parent为轴将subL节点往上提至原parent的位置（右旋），将grandfather、parent 和 subL旋至一条直线上； 再以grandfather为轴将subL往上提至grandfather的位置（左旋），此时以subL为根的左右子树的高度相同，恢复了平衡态！ parent有两个孩子时，要看插入的节点是subL的右孩子还是左孩子，双旋后对平衡因子的修改分两种情况： subL的平衡因子为1，即subL有右孩子无左孩子（有subLR但无subLL），双旋之后将grandfather的平衡因子置为-1，将parent的平衡因子置为0； subL的平衡因子为-1，即subL有左孩子无右孩子（有subLL但无subLR），双旋之后将grandfather的平衡因子置为0，将parent的平衡因子置为1； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 //右左双旋 template<class K, class V> void AVLTree<K, V>::_RotateRL(AVLTreeNode<K, V>*& parent) { AVLTreeNode<K, V>* pNode = parent; AVLTreeNode<K, V>* subR= parent->_right; AVLTreeNode<K, V>* subRL = subR->_left; int bf = subRL->_bf; _RotateR(parent->_right); _RotateL(parent); if (bf == 1) { pNode->_bf = 0; subR->_bf = -1; } else if (bf == -1) { pNode->_bf = 1; subR->_bf = 0; } else { pNode->_bf = 0; subR->_bf = 0; }  （编辑：南通站长网） 【声明】本站内容均来自网络，其相关言论仅代表作者个人观点，不代表本站立场。若无意侵犯到您的权利，请及时与联系站长删除相关内容! |
